1. Preis – Krummer Steg – Brücke zwischen Teltow und Zehlendorf

Schriftliche Abhandlung zur FEM Modellierung und Konstruktion

THEMEN UND FRAGESTELLUNGEN

Folgend werden ausgewählte Kapitel des Wettbewerbsbeitrags >>Krummer Steg<< näher erläutert. Es handelt sich dabei um eine semi-integrale, aufgeständerte Stabbogenbrücke. Die hohe statische Unbestimmtheit und die räumliche Krümmung des Tragwerks machen eine FEM gestützte Berechnung des Systems erforderlich. Auf folgende Tragwerksaspekte wird im Rahmen der Abhandlung eingegangen:

In Kapitel I werden die Vorteile und die planerischen Besonderheiten der FEM Modellierung und der konstruktiven Umsetzung des semi-integralen Systems aufgezeigt. Dabei spielt insbesondere die Lagerung des Bogentragwerks eine wesentliche Rolle.

Das Kapitel II greift den architektonischen, sowie konstruktiven Entwurfsansatz einer Fügung des Überbau- und Bogenquerschnitts am Scheitelpunkt auf. Diese Fügung bewirkt eine Unstetigkeitsstelle im Kraftfluss, die im Rahmen der Tragwerksplanung näher berücksichtigt werden muss. Zwei besondere Aspekte werden dazu näher diskutiert und Lösungen für die FEM Modellierung sowie die konstruktive Umsetzung aufgezeigt.

1. Das Kapitel III geht daher auf die Besonderheiten der normativ geforderten Stabilitätsnachweise im Stahlbau für eine komplexe Traggeometrie ein. Es wurden zwei Rechenmodelle (unverformt und verformtes System) verwendet, die voneinander abgegrenzt werden.Semi-integrales Tragwerkskonzept
    

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Der vertikale Lastabtrag des Überführungsbauwerkes ist klar strukturiert: Die größten rechnerischen Lasten entstehen infolge des Personenverkehrs, die der Überbau aufnimmt. Würde man ihn als Einfeldträger ausbilden, kann er diese jedoch aufgrund der Spannweite von 64,8 m nicht ohne gewaltige Abmessungen abtragen.

Stützen in gleichmäßigem Raster aktivieren daher in dem vorliegenden Entwurf den Überbau als Durchlaufträger und begünstigen eine gleichmäßigere Biegebeanspruchung des Tragwerks. Der unterhalb der Stützen angeordnete Bogen nimmt die Druckkräfte der Stützen auf und leitet diese zu den Kämpfern an den Ufern des Kanals. Die ortsbedingte, im Grundriss gekrümmte Wegeführung erzwingt eine geneigte Lagerung des Überbaues um Torsionsbeanspruchungen entgegenzuwirken. Der Bogen reagiert auf diese Lasteinleitung durch die aufgezeigte räumliche Ausstellung. Es entsteht somit eine räumlich gekrümmte, aufgeständerte Stabbogenbrücke.

Um die Tragfähigkeit der Stützen zu erhöhen ist es notwendig die Knicklänge nach Euler zu reduzieren und so dem Stabilitätsversagen entgegenzuwirken. Der biegesteife Anschluss der Stützen führt zu schlanken Abmessungen und damit nicht nur zur ästhetisch anmutenden, schlanken Erscheinung, sondern ist auch Sinnbild für Wirtschaftlichkeit und Nachhaltigkeit durch die Schonung der Ressourcen bei geringerem Materialverbrauch.

Infolge des biegesteifen Anschlusses entstehen Biegemomente in den Stützen. Durch die geringe Biegesteifigkeit EI_y im Vergleich zum Überbau sind diese jedoch kleinerer Größenordnung.

Ein hochgradig überbestimmtes System wie beim »Krummer Steg« gilt allgemein als kritisch im Hinblick auf die entstehenden Zwangskräfte. Setzungen sind aus diesem Grund durch eine geeignete Gründung stark zu begrenzen. Die Verformungen infolge der Temperaturbeanspruchung führen sowohl aus dem konstanten wie auch aus dem linearen Temperaturanteil der zu Zwangsschnittgrößen. Die Steifigkeit des Tragwerks wirkt sich maßgebend auf die Größe der Schnittgrößen aus. Durch die schlanken Abmessungen, insbesondere des Bogens und der Stützen, ist das Gesamttragwerk weich, so dass die Verformungen nur schwach behindert werden. Die Gegenüberstellung der Biegebeanspruchungen um die Y-Achse infolge Eigengewicht und maßgebender Temperaturbeanspruchung verdeutlicht, dass sich die Beanspruchung infolge Zwang nicht zu der bemessungsmaßgebenden Belastung entwickelt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Umsetzung im FEM Modell

Entscheidend für die Modellierung des Tragwerks ist die realitätsnahe Abbildung der Gründungsverhältnisse. Tragfähigkeit und Beschaffenheit des Baugrunds üben maßgeblichen Einfluss auf den Entwurf der Brücke aus, den es in der Modellierung abzubilden gilt. Die gewählte Ausführung eines Bogentragwerkes mit aufgeständertem Überbau birgt große Lagerkräfte an den Bogenkämpfern und eine hohe Setzungsempfindlichkeit. In einer ersten Berechnung kommt eine Flachgründung zum Einsatz. Ein günstigeres Baugrundverhalten durch höhere Steifigkeiten und damit einhergehend geringeren Verformungen durch eine Tiefgründung kann unter einem höheren Detaillierungsgrad untersucht werden.

Die gebettete Lagerung durch Federn, deren Steifigkeitsermittlung nur auf groben Annahmen möglich ist, vermeidet eine Überschätzung der geometrischen Steifigkeit des Bogens.

Die Bodensteifigkeit ist unter anderem von der Belastung des Bodens abhängig. Mit zunehmender Belastung wird der Boden stärker komprimiert, was zur Erhöhung der Steifigkeit führt. Die elastische Modellierung der Auflagerpunkte mittels Federn wird vereinfachend als konstanter Wert aus dem Bettungsmodul und der Abmessung der Fundamente ermittelt. Die Bestimmung der genannten Abmessungen erfolgt in der Tragwerksentwicklung am unverschieblich gelagerten System. Auf Grundlage der Lagerkräfte und einer zulässigen Bodenpressung  von σ = 300 kN/m².

In der folgenden Abbildung sind die Lagerungsknoten für die folgenden Tabellen gekennzeichnet.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

In der folgenden Tabelle sind die Auflagerkräfte des unverschieblich gelagerten Tragwerks aufgeführt, die zur Berechnung der Auflagerfläche und daraus folgend der Federsteifigkeit benötigt werden. Die gegenseitigen Abhängigkeiten sind beispielhaft für den Knoten 1007 aufgeführt:

Der Bettungsmodul errechnet sich wie folgt:

Mit dem Steifemodul des Baugrunds (hier:  ), dem Formfaktor in Abhängigkeit des Seitenverhältnisses (Annahme  ) und der Fundamentbreite (Annahme b= 2,5 m).

Tabelle 1: Resultierende Federsteifigkeiten in kN/m

Die Einspannung des Bogens lässt sich mittels der Fundamentgröße beeinflussen. Die Drehfedersteifigkeiten werden in vereinfachter Untersuchung auf Grundlage des Bettungsmoduls ermittelt. Die Drehfederkonstante K berechnet sich zu

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Tabelle 2: Resultierende Drehfedersteifigkeiten in kNm/rad

Der Übersichtlichkeit halber werden in den folgenden Abbildungen die Drehfeder- und die Längsfedersteifigkeiten getrennt voneinander dargestellt. Die jeweiligen Nebenrichtungen an den Knoten des räumlichen Systems werden durch die gleiche Steifigkeitszuordnung überschätzt, haben jedoch keinen Einfluss auf die Ergebnisse der Vorbemessung, da die zugehörigen Schnittgrößen nicht bemessungsmaßgebend werden.

1. Abhandlung zur Kopplung zwischen Überbau und Bogen

Die trapezförmige Geometrie des Überbaues und die dreieckige Geometrie des Bogens werden durch günstige Auswirkungen auf die Statik und das ästhetischen Prinzip zweier verschmelzender Formen vorgegeben. Allgemein betrachtet ist der Steifigkeitszuwachs proportional zur dritten Potenz der Dicke. Daher ist es deutlich günstiger und letztlich wirtschaftlicher eines der beiden Bauteile hoch auszuführen, als beide mit der gleichen Höhe.

Im vorliegenden Fall soll der Überbau die Torsionsbeanspruchung aus der räumlichen Öffnung des Systems aufnehmen und zugleich die Spannweiten zwischen den Stützen überbrücken. Daher wird dem Überbau als torsionssteifen, abgeschweißten Kasten die höhere Steifigkeit zugewiesen. Folgend kann der Bogen sehr schlank ausgebildet werden, sodass er dadurch nicht nur ästhetisch interessant, sondern auch konstruktiv sinnvoll eingesetzt wird: Aufgrund seiner Form besitzt er ohnehin eine hohe geometrische Steifigkeit für Normalkräfte, die er auch bei den geringen Querschnittsabmessungen ausnutzen kann. Bogen und Überbau sind im Scheitelpunktsbereich gekoppelt und wirken dadurch als ein gefügter Querschnitt. Der Ort ist sinnvoll gewählt, da in diesem flachen Bereich die Aufnahme der Lasten mit hohen Verformungen einhergeht und dadurch eine hohe Tragfähigkeit auf Biegung erforderlich wird.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Die Querschnittsabmessungen des Bogenquerschnitts steigen vom Scheitelpunkt in beide Richtungen zu den Fußpunkten an. Dies erfolgt im Einklang mit der erwarteten Normalkraftbeanspruchung. Die vergleichsweise geringe Biegesteifigkeit des Bogens nimmt ebenso zu den Kämpfern zu, sodass eine Einspannung (Bogenfußpunkt) möglich wird. Die Form reagiert damit nicht nur auf die Normalkraftbeanspruchung sondern auch auf unvermeidbare Biege- und Torsionsbeanspruchungen im Bogen und dessen Knickfigur bei kritischer, ungleichmäßiger Belastung wie sie beispielhaft in der Abbildung 7 dargestellt wird.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Der Brückenabschnitt, in dem Überbau und Bogen verschmelzen hat eine Länge von 13 m bei einer gesamten Spannweite von 64,8 m. Im Übergangsbereich zwischen dem aufgeständerten Tragwerk und dem gefügten Querschnitt ist eine genauere Untersuchung erforderlich, denn diese veränderliche Form (vgl. Abbildung 8) wirkt sich auf den Kraftfluss aus. Zwei Besonderheiten werden damit hervorgerufen, die im Folgenden behandelt werden. Dabei wird sowohl auf die konstruktive Umsetzung als auch die FEM Modellierung eingegangen.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Die erste Besonderheit betrifft die Veränderung der Biegesteifigkeit: Der Übergang von zwei getrennten Querschnitten zu einem zusammengesetzten Querschnitt verändert sprunghaft die Steifigkeit, da sich der innere Hebelarm vergrößert (vgl. Schnitt 2-2 und 3-3, Abbildung 8). Es entsteht somit ein Diskontinuitätsbereich in dem die Unstetigkeit Störeffekte erzeugt. Ferner werden in der Abbildung die Biegesteifigkeiten festgehalten, um eine Aussage zum Steifigkeitsverhältnis treffen zu können.

Konstruktive Maßnahmen zur Berücksichtigung dieser ersten Besonderheit waren daher erforderlich, die durch Anpassungen am Überbauquerschnitt durchgeführt wurden. Dafür werden die Stegbleche des Überbauquerschnitts am Schnitt 3-3 stärker als am Schnitt 2-2 gewählt, wodurch der Steifigkeitsabfall reduziert wird. Im vorliegenden Beispiel soll gerade der Überbau Biegemomente abtragen, daher wird vor allem dort die Steifigkeit erhöht. Der Bogen trägt hauptsächliche Normalkräfte ab, weshalb die Erhöhung der Biegesteifigkeit weniger relevant ist. Alternativ hätte der Steifigkeitsanstieg auch durch Zusatzbleche umgesetzt werden können.

Die zweite Besonderheit betrifft die Lageänderung der Schwereachse: Die Form des Bogens ist so entwickelt, dass diese weitestgehend der Stützlinie unter gleichmäßiger Belastung entspricht. Jedoch führt die Kopplung zu einer Abweichung, die folgend genauer betrachtet wird.

Die Schwereachsen beider Bauteile der unmittelbar benachbarten Schnitte 2-2 und 3-3 weichen voneinander ab (vgl. Abbildung 9 und Abbildung 10). Dieser Umstand ist gerade für den Bogen relevant, denn er leitet entlang der Schwereachse große Normalkräfte ab. Eine Abweichung der Schwereachse erzeugt damit erhebliche Biegemomente. Ohne die adäquate konstruktive Berücksichtigung kann es zu Schäden an der Konstruktion kommen und so die Stabilität gefährden.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Auch die zweite Besonderheit lässt sich durch konstruktive Maßnahmen berücksichtigen, die durch Anpassungen am Bogentragwerk umgesetzt werden.

Durch zusätzliche Versteifungsbleche im Hohlkasten wird eine fließende Umlenkung der Bogendruckkraft konstruktiv sichergestellt. Dazu werden die (Steg-) Bleche im Bogen verstärkt. Die Umlenkung der Normalkraft erfolgt über die Bleche zwischen Bogen und Überbau. Diese konstruktive Maßnahme am Bogen ergänzt die Maßnahmen am Überbau aus der erst genannten Besonderheit.

Umsetzung im FE Stabwerksmodell

Im FE-Modell wird der zusammengesetzte Bereich durch einen eigenen Querschnitt modelliert, um die tatsächlichen Steifigkeiten ohne Kopplungsbeziehungen zwischen Überbau und Bogen zu erfassen. Es bestehen grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, wie solch ein Anschluss modelliert werden kann. Die nachfolgende Darstellung stellt drei mögliche Varianten dar, die auf der biegesteifen Anordnung eines sehr steifen Kopplungsstabes beruhen.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Für die vorliegende Modellierung wurde der dritte mögliche Anschluss gewählt, da mit diesem ein ungestörter Verlauf der hohen Bogendruckkraft sichergestellt werden kann. Das ist in den anderen beiden Varianten nicht möglich, da die Druckkraft zusätzliche Biegemomente erzeugt. Der Zwischenbereich wird durch einen sehr steifen Stab (EA = 10 × 10⁸ N/mm²) modelliert. Das Ergebnis der Modellierung ist in Abbildung 12 in Form eines Grundrisses und einer Ansicht dargestellt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Ein Anstieg des Biegemoments am Kopplungsbereich ist im FE-Modell noch immer zu sehen (vgl. Abbildung 13). Der Unterschied zwischen den Biegemomenten im zusammengesetzten Querschnitt im Vergleich zum Überbauquerschnitt ist jedoch nicht groß und entspricht somit den konstruktiven Überlegungen.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Zusammenfassend lässt sich damit festhalten, dass die statischen Besonderheiten aus der Kopplung sowohl konstruktiv als auch im FE-Modell berücksichtigt werden konnten. Konstruktive Maßnahmen im Überbau- und Bogenquerschnitt durch Verstärkung und Ergänzung der Stahlbleche waren erforderlich. Die FE-Modellierung konnte durch einen besonderen Achsenverlauf deutlich verbessert werden.

1. Stabilitätsnachweise am komplexen Stahltragwerk

In der folgenden Abbildung sind skizzenhaft die wesentlichen Nachweispunkte und die erforderlichen Nachweisformate für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) dargestellt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Gesondert wird folgend auf die Einzelanforderungen der Nachweise an das System und die sich somit ergebenden Schnittgrößen eingegangen. Die Untergliederung erfolgt auf Grundlage der Bauteile „Stahlstützen“ und „Bogen“.

Stahlstützen

Die Stützen werden infolge der integralen Ausführung auf Druck und Biegung um beide Achsen belastet. Maßgebender Nachweisort für die Bemessung sind die Stützen mit der größten Knicklänge in unmittelbarer Nähe der Bogenkämpfer auf dem Bogen. Die Stützen werden nach dem Ersatzstabverfahren nach DIN EN 1993-2, 6.3.3 nachgewiesen. Dabei werden die Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung am unverformten System ermittelt. Bauteilimperfektionen und Schnittgrößen aus der Theorie II. Ordnung werden mittels der Abminderungsfaktoren χ berücksichtig. Diese Faktoren begrenzen die Querschnittstragfähigkeit zur Vermeidung des Stabilitätsversagens.

Bogen

Die Anwendung des Ersatzstabverfahrens ist für Stabilitätsnachweise an komplexen Konstruktionen nicht möglich. Für den Nachweis der Bogenstabilität sind daher zwei getrennte Nachweise erforderlich:

1. Globaler Nachweis: Am verformten System mit dem Verfahren nach DIN EN 1993-2, 5.3.2 für das gesamte Tragwerk
2. Lokaler Nachweis: Am unverformten System – Anwendung des Ersatzstabverfahrens für begrenzte Teilsysteme

Der Nachweis am Gesamtsystem (globaler Nachweis) sichert das Tragwerk gegen Versagensformen, wie dem „Durchschlagen“ des Bogens bei unsymmetrischer Belastung ab. Der stabilisierende Einfluss der biegesteif angeschlossenen Stützen, die den Überbau an der Tragwirkung aktivieren, wird dadurch berücksichtigt. Einflüsse aus Theorie II. Ordnung (Imperfektionen, Anfangsschiefstellungen) werden durch die Berechnung am vorverformten System (vgl. folgenden Abschnitt) berücksichtigt. Dieser Ansatz beruht auf Grundlage der DIN EN 1993-2, 5.3.2. Wegen der Berücksichtigung der Systemverformung ist es möglich, die Bemessung eines stabilitätsgefährdeten Bauteils mittels üblicher Querschnittsnachweise gemäß DIN EN 1992-2, 6.2.10 bzw. Anhang D durchzuführen.

Die maßgebende Knickform entspricht der ersten Eigenform (dynamische Untersuchung), die als spannungslose Vorverformung auf das Tragwerk aufgebracht wird. Das vorverformte System ist in der folgenden Abbildung mit zehnfacher Überhöhung der ersten Eigenform in der Ansicht dargestellt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Die maximale Amplitude der Vorverformung wird entsprechend der DIN EN 1993-2, Anhang D bestimmt. Für das Knicken in globaler z-Richtung, d.h. in Belastungsebene, wird folgende maximale Amplitude in Abhängigkeit der Spannweite angegeben:

Zur Erläuterung ist der Ansatz nach DIN EN 1993-2, Anhang D in der folgenden Abbildung schematisch für einen einfachen eingespannten Bogen dargestellt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Zusätzlich ist die Knickgefahr des Bogens zwischen den stabilisierenden Stützen zu untersuchen. Dieser lokale Nachweis kann nach dem Ersatzstabverfahren geführt werden. Die Krümmung des Bogens wird über eine zusätzliche Ausmitte berücksichtigt, auf der sicheren Seite wird der Drehwiderstand der den Knickstab begrenzenden Stützen nicht berücksichtigt, so dass der Knicklängenbeiwert β mit 1,0 gemäß Eulerfall II angesetzt wird.

Einfluss der Vorverformung – Gegenüberstellung zur Sollgeometrie

Bei der Schnittgrößenermittlung wird zwischen verschiedenen Schnittkraftmodellen unterschieden, um der korrekten Abbildung der Nachweisformate im Rechenmodell zu genügen.

Um die ausgewählte Stabilitätsnachweise nach dem Ersatzstabverfahren (lokale Nachweise) zu lösen, werden Schnittgrößen an der Sollgeometrie ohne Berücksichtigung von Vorverformungen ermittelt. Die Grundlage sehr kleiner Verformungen für die untersuchten Teilsysteme infolge der Imperfektionen rechtfertigt den vereinfachten Nachweis anhand von Abminderungsbeiwerten.

Globale Nachweise der Stabilität werden hingegen am vorverformten System geführt, dessen Geometrie auf Grundlage der ersten Eigenform bestimmt wurde und auf eine Verformung von skaliert wurde. Die Verformung basiert auf der Beanspruchung durch den quasi-ständigen Anteil der Belastung. Die erste Eigenform entspricht dem verformten System unter der geringsten aufgewendeten Energie und somit der wahrscheinlichsten Verformung. Erst durch diese aufgebrachte Imperfektion werden Einflüsse infolge Theorie II. Ordnung in den Schnittgrößen der FE-Berechnung abgebildet.

Die Schnittgrößen sind ferner nichtlinear zu ermitteln, um eine Aussage zur globalen Stabilität treffen zu können. So wird aufgezeigt, ob das System gegen einen Verformungszustand konvergiert. Ist das System instabil, so würde ein Gleichgewichtszustand nicht gefunden werden.

Der Unterschied zwischen den beiden Systemantworten ist beachtlich: Die Biegemomente für Eigengewicht steigen beispielsweise um knapp 30% durch die Vorverformung an. Um diesen Vergleich nachzuvollziehen, ist die folgende Abbildung 17 dargestellt.

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher

Abb.: Brinkmann|Cheheltan|Grave|Schumacher